每日一题[3671]抽象具象

2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #8

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(x+y)+f(x-y)=\dfrac{1}{2} f(x) f(y)$，$f(1)=-2$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2024} f(k)=$ （       ）

 A．$-4$

B．$4$

C．$0$

D．$-2$

答案    A．

解析    在 $f(x+y)+f(x-y)=\dfrac{1}{2} f(x) f(y)$ 中，令 $y\to 0$，可得 $$2f(x)=\dfrac 12f(0)\cdot f(x),$$ 而 $f(1)=-2$，于是 $f(x)$ 不恒为 $0$，从而 $f(0)=4$． 在 $f(x+y)+f(x-y)=\dfrac{1}{2} f(x) f(y)$ 中，令 $y\to 1$，可得 $$f(x+1)+f(x-1)=\dfrac 12f(1)\cdot f(x)\implies f(x+1)=-f(x)-f(x-1),$$ 而 $f(0)=4$，$f(1)=-2$，建立递推，得到 $$f(k)_{k=0}^{+\infty}:\underbrace{4,-2,-2},\underbrace{4,-2,-2},\cdots,$$ 因此 $$\sum\limits_{k=1}^{2024} f(k)=f(1)+f(2)=-4.$$