每日一题[3649]估计大小

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #5

已知 $x, y$ 为正整数，且 $1 \leqslant x, y \leqslant 1987$，则满足 $x\mid \left[\dfrac{x^2}{y}\right]+1$ 的 $(x, y)$ 的整数对有_____个．

答案    $3793$．

解析    根据题意，设 $\dfrac{x^2}y=\left[\dfrac{x^2}y\right]+r$（$0\leqslant r<1$），则有

$$x\mid \left[\dfrac{x^2}{y}\right]+1 \implies x\mid \left(\dfrac{x^2}y-r+1\right)\implies x\mid y\left(\dfrac{x^2}y-r+1\right)\implies x\mid (1-r)y,$$ 于是 $$x\leqslant (1-r)y\leqslant y\implies \left[\dfrac {x^2}y\right]+1\leqslant x+1.$$ 若 $x=1$，则 $y=1,2,\cdots,1987$． 若 $x\geqslant 2$，则 $$\left[\dfrac{x^2}y\right]+1\leqslant x+1<2x\implies \left[\dfrac{x^2}y\right]+1=x,$$ 于是 $$\dfrac{x^2}y-1< \left[\dfrac{x^2}y\right]=x-1\leqslant \dfrac{x^2}y\implies x<y\leqslant \dfrac{x^2}{x-1}\implies x<y\leqslant x+1+\dfrac1{x-1},$$ 因此 $$y=\begin{cases} 3,4,&x=2,\\ x+1,&x=3,4,\cdots,1987.\end{cases}$$ 综上所述，符合题意的整数对有 $1987+2+1984=3793$ 个 $^{[1]}$．

备注    $[1]$ 若将 $1987$ 更换为 $m$（$m\geqslant 4$），则所求整数对个数为 $2m-1$．