每日一题[3573]垂径定理

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #7

已知 $A,B$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}3=1$ 的公共顶点，$M$ 是双曲线上一点，直线 $MA,MB$ 分别交椭圆于 $C,D$ 两点，若直线 $CD$ 过椭圆的焦点 $F$，则线段 $CD$ 的长度为（       ）

A．$\dfrac 3 2$

B．$3$

C．$2\sqrt 3$

D．$\dfrac 3 2\sqrt 3$

答案    B．

解析    如图．

根据有心圆锥曲线的垂径定理，有

$$\begin{cases} k_{AC}\cdot k_{BD}=\dfrac 34,\\ k_{AD}\cdot k_{BD}=-\dfrac 23,\end{cases}\implies k_{AC}+k_{BD}=0,$$ 于是点 $C,D$ 关于 $x$ 轴对称，因此 $CD$ 是椭圆的通径，有 $|CD|=3$．