每日一题[3563]引参表达

2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #14

在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=BC=CA=2$，$PA=PB$，二面角 $P-AB-C$ 的大小为 $\dfrac{\pi}3$，则 $PA^2+ PB^2+PC^2$ 最小时，三棱锥 $P-ABC$ 的体积为_____．

答案    $\dfrac{\sqrt 3}{12}$．

解析    设 $AB$ 的中点为 $M$，连接 $PM,CM$，$PM=x$，则 $\angle PMC=\dfrac{\pi}3$，进而

$$\begin{split} PA^2+PB^2+PC^2&=2(PM^2+MA^2)+(PM^2+MC^2-2\cdot \cos\angle PMC\cdot PM\cdot MC)\\ &=2(x^2+1)+(x^2+3-\sqrt 3x)\\ &=3x^2-\sqrt 3x+5,\end{split}$$ 因此 $PA^2+ PB^2+PC^2$ 最小时 $PM=\dfrac{\sqrt 3}6$，此时三棱锥 $P-ABC$ 的体积 $$[P-ABC]=\dfrac 13\cdot [\triangle ABC]\cdot d(P,MC)=\dfrac 13\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}4\cdot 2^2\right)\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{\sqrt 3}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}{12}.$$