每日一题[3562]挖掘关系

2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #10

已知 $n>\dfrac m 2$，且 $x=\left|\log_2 m\right|$，$y=\left|\log_2 n+1\right|$，$z=2\left|\log_2\left(\dfrac m 2+n\right)\right|$，则（      ）

A．若 $x=y$，则 $n>\dfrac 1 2$

B．若 $x=y$，则 $m+n$ 的最大值为 $\sqrt 2$

C．若 $x=y=z$，则 $m^4+2 m^2-4 m+1=0$

D．若 $x=y=z$，则 $n^2-2 n+\dfrac 3 4>0$

答案    ACD．

解析    设函数 $f(x)=|\log_2x|$，则 $x=f(m)$，$y=f(2n)$，$z=f\left(\left(\dfrac{m+2n}2\right)^2\right)$．函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增． 若 $x=y$，则 $0<m<1<2n$，且

$$m\cdot 2n=1,\tag{1}$$ 进而选项 $\boxed{A}$ 正确；

而 $m+n$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 2,+\infty\right)$，选项 $\boxed{B}$ 错误．

若 $x=y=z$，由 $\left(\dfrac{m+2n}2\right)^2>2mn=1$，可得

$$\left(\dfrac{m+2n}2\right)^2=2n,\tag{2}$$ 由 $(1)(2)$ 两式消去 $n$，整理可得选项 $\boxed{C}$ 正确；

消去 $m$，整理可得

$$n^2-2n+\dfrac 34=\dfrac{4n^2-1}{16n^2}>0,$$ 选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．