2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#24
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ}$，$\angle BAP=\angle CAP$，$P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，延长 $BP$ 交 $AC$ 于 $Q$，且 $\dfrac 1{|BP|}+\dfrac 1{|CP|}=\dfrac 1{|PQ|}$，则 $\angle BPC=$ （ ）
A．$110^{\circ}$
B．$120^{\circ}$
C．$130^{\circ}$
D．$140^{\circ}$
答案 B．
解析 如图．
\根据题意，有\[\dfrac 1{|BP|}+\dfrac 1{|CP|}=\dfrac 1{|PQ|}\iff \dfrac{|PQ|}{|PB|}+\dfrac{|PQ|}{|PC|}=1,\]结合正弦定理可得\[\dfrac{\sin\angle ABQ}{\sin\angle AQB}+\dfrac{\sin\angle PCQ}{\sin\angle PQC}=1\iff \sin\angle ABQ+\sin\angle PCQ=\sin\left(\angle ABQ+60^\circ\right),\]移项、和差化积整理得\[\sin\angle PCQ=\sin\left(60^\circ-\angle ABQ\right),\]于是 $\angle PCQ=60^\circ-\angle ABQ$ 或 $\angle PCQ=120^\circ+\angle ABQ$（舍去），因此\[\angle BPC=\angle ABQ+\angle PCQ+\angle BAC=120^\circ.\]
备注 取 $P$ 为正三角形 $ABC$ 的中心即得．