2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#21
已知 $a,b \in \mathbb N^{\ast}$，$a+b \leqslant 2024$，且 $ab^2+b+7 \mid a^2b+a+b$，则数组 $(a,b)$ 的个数为（ ）
A．$16$
B．$17$
C．$18$
D．$19$
答案 C．
解析 根据题意，有\[ab^2+b+7\mid b(a^2b+a+b)\implies ab^2+b+7\mid a(ab^2+b+7)+b^2-7a\implies ab^2+b+7\mid b^2-7a,\]由于 $ab^2+b+7>b^2-7a$，于是 $b^2-7a\leqslant 0$．
情形一 $b^2-7a=0$．此时 $(a,b)=(7k^2,7k)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），而 $a+b\leqslant 2024$，于是\[7k^2+7k\leqslant 2024\implies k=1,2,\cdots,16,\]此情形包含 $16$ 组 $(a,b)$．
情形二 $b^2-7a<0$．此时\[7a-b^2\geqslant ab^2+b+7\implies (7-b^2)a-(b^2+b+7)\geqslant 0\implies 7-b^2>0,\]于是 $b=1,2$．
当 $b=1$ 时，条件变为 $a\leqslant 2023$，$a+8\mid a^2+a+1$，于是\[\dfrac{a^2+a+1}{a+8}\in\mathbb N^{\ast}\iff a-7+\dfrac{57}{a+8}\in\mathbb N^{\ast},\]而 $57=3\cdot 19$，于是 $a=11,49$．
当 $b=2$ 时，条件变为 $a\leqslant 2024$，$4a+9\mid 2a^2+a+2$，于是\[4a+9\mid 4a^2+2a+4\implies 4a+9\mid -7a+4\implies \dfrac{7a-4}{4a+9}\in\mathbb N^{\ast},\]而 $\dfrac{7a-4}{4a+9}<2$，于是 $\dfrac{7a-4}{4a+9}=1$，无整数解．
综上所述，所有的解 $(a,b)$ 共有 $18$ 组．
当b=2时，条件变为a≤2022