每日一题[3531]必要条件入手

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#11

若复数 $z$ 满足 $|z|=1$ 且 $z^n=z+\sqrt{2}$，则正整数 $n$ 的最小值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

答案    C．

解析    设 $z=(\theta:1)$，$\theta\in [0,2\pi)$，则两边取模可得

$$1=\left(\cos\theta+\sqrt 2\right)^2+(\sin\theta)^2\implies \cos\theta=-\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 此时题中方程即 $$(n\theta:1)=(\theta:1),$$ 验证可得当 $\theta=\dfrac{3\pi}4,\dfrac{5\pi}4$ 时，正整数 $n$ 的最小值均为 $3$，因此所求最小值为 $3$．