2024年北京大学强基计划数学试题(回忆版)#20
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\sqrt{2}$,$a_{n+1}=\left[a_n\right]+\dfrac{1}{a_n-[a_n]}$,则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2024} [a_k]=$ ( )
A.$2024^2-1$
B.$2024^2$
C.$2024^2+1$
D.以上答案都不对
答案 B.
解析 根据题意,有\[\begin{split} a_2&=\left[\sqrt 2\right]+\dfrac{1}{\sqrt 2-\left[\sqrt 2\right]}=1+\dfrac{1}{\sqrt 2-1}=2+\sqrt 2\\ a_3&=\left[2+\sqrt 2\right]+\dfrac{1}{2+\sqrt 2-\left[2+\sqrt 2\right]}=3+\dfrac{1}{\sqrt 2-1}=4+\sqrt 2,\end{split}\]猜想 $a_n=2(n-1)+\sqrt 2$,并容易验证,因此\[ \sum_{k=1}^{2024} [a_k]=\sum_{k=1}^{2024}\left(2k-1\right)=2024^2.\]