每日一题[3509]成双入对

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#9

在体积为 $1$ 的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为 $8$ 个长方体，则这些长方体中体积不大于 $\dfrac 18$ 的长方体个数的最小值为（       ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    即求 $(a_1+a_2)(b_1+b_2)(c_1+c_2)$ 的展开式（$8$ 项）中值不大于 $\dfrac 18$ 的项数的最小值，其中正实数 $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ 满足

$$a_1+a_2=b_1+b_2=c_1+c_2=1,$$ 考虑到 $$a_pb_qc_r\cdot a_{3-p}b_{3-q}c_{3-r}\leqslant \left(\dfrac{(a_p+a_{3-p})+(b_q+b_{3-q})+(c_r+c_{3-r})}6\right)^6=\dfrac{1}{64},$$ 其中 $p,q,r\in\{1,2\}$，因此用此方式把 $8$ 个长方体分为 $4$ 组，则每组中至少有一个体积不大于 $\dfrac 18$，因此所求最小值为 $4$．