每日一题[3508]高斯增压

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#8

关于 $x$ 的方程 $x^2-13[x]+11=0$ 在 $\mathbb R$ 上的解的个数为（       ）

A．$4$

B．$5$

C．$6$

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    由于 $x-1<[x]\leqslant x$，于是 $$\begin{cases} x^2-13(x-1)+11>0, \\ x^2-13 x+11 \leqslant 0,\end{cases}\iff -24<x^2-13x\leqslant -11,$$ 且 $x^2=13[x]-11$（左侧为非负数，右侧为整数），因此 $x>1$，而 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline x^2-13x&-12&-22&-30&-36&-40&-42&-42&-40&-36&-30&-22&-12&0\\ \hline \end{array}$$ 因此 $[x]$ 的可能取值为 $1,2,10,11,12$，检验可得 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline [x]&1&2&10&11&12\\ \hline x&\sqrt 2&\sqrt{15}~\text{舍去}&\sqrt{119}&\sqrt{132}&\sqrt{155}\\ \hline\end{array}$$ 因此所求解的个数为 $4$．