每日一题[3444]正余弦定理

2024年高考全国甲卷（理科）#11

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$，若 $B=\dfrac{\pi}3$，$b^2=\dfrac 9 4 a c$，则 $\sin A+\sin C=$（       ）

A．$\dfrac 32$

B．$\sqrt 2$

C．$\dfrac{\sqrt 7}2$

D．$\sqrt{3}2$

答案    C．

解析    不妨设 $b=1$，根据题意，有 $ac=\dfrac 49$，根据余弦定理，有

$$\cos B=\dfrac 12\iff \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac 12\iff a^2+c^2=\dfrac{13}9,$$ 根据正弦定理，有 $$\left(\dfrac{\sin A+\sin C}{\sin B}\right)^2=\dfrac{(a+c)^2}{b^2}=(a^2+c^2)+2ac=\dfrac73,$$ 从而 $$\sin A+\sin C=\sqrt{\dfrac 73}\sin B=\dfrac{\sqrt 7}2.$$