每日一题[3439]极化恒等式

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点 $A,B$ 在 $C$ 上，且满足 $\overrightarrow{F_1 A}=2\overrightarrow{F_2 B}$，$\overrightarrow{F_1 B}\cdot\overrightarrow{AB}=4 c^2-\dfrac{a^2}{16}$，则 $C$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac{2\sqrt 2}3$

B．$\dfrac{\sqrt 6}3$

C．$\dfrac 2 3$

D．$\dfrac{\sqrt 3}3$

答案    B．

解析    设 $AF_1$ 的中点为 $M$，根据极化恒等式，有

$$\overrightarrow{F_1B}\cdot \overrightarrow{AB}=|BM|^2-\dfrac 14|AF_1|^2=|F_1F_2|^2-\dfrac 14|AF_1|^2=4c^2-\dfrac14|AF_1|^2,$$ 因此 $|AF_1|=\dfrac a2$，$|BF_2|=\dfrac a4$，根据焦点弦的调和分割性质，有 $$\dfrac{1}{|AF_1|}+\dfrac{1}{|BF_2|}=\dfrac{2a}{b^2}\iff \dfrac 2a+\dfrac 4a=\dfrac{2a}{b^2}\iff a^2=3b^2,$$ 因此椭圆 $C$ 的离心率 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 6}3$．