每日一题[3413]扩散攻击

已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 均满足 $2 f(x)+f\left(x^2-1\right)=1$，则（       ）

A．$f(-x)=f(x)$

B．$f(\sqrt 2)=1$

C．$f(-1)=\dfrac 1 3$

D．函数 $f(x)$ 在区间 $(\sqrt 2,\sqrt 3)$ 上不单调

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，有

$$f(x)=\dfrac{1-f(x^2-1)}{2}=f(-x),$$ 命题成立；

对于选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$，由于 $f(x^2-1)=1-2f(x)$，于是

$$\begin{cases} f(-1)=1-2f(0),\\ f(0)=1-2f(1),\\ f(0)=1-2f(-1),\end{cases}\iff f(0)=f(1)=f(-1)=\dfrac 13,$$ 而 $$f(1)=1-2f\left(\sqrt 2\right)\implies f\left(\sqrt 2\right)=\dfrac13,$$ 选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{D}$，由于 $f(x^2-1)=1-2f(x)$，因此若函数 $f(x)$ 在 $\left(\sqrt 2,\sqrt 3\right)$ 上单调，则 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调，进而 $f(x)$ 在 $(0,3)$ 上单调，进而 $f(x)$ 在 $(-1,8)$ 上单调，这与 $f(0)=f(1)$ 矛盾，因此选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．

备注    对于选项 $\boxed{D}$，令 $x=x^2-1$，可得 $x=\dfrac{1\pm\sqrt 5}2$，进而 $f\left(\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)=\dfrac13$．又

$$f((x^2-1)^2-1)=1-2f(x^2-1)=1-2(1-2f(x))=4f(x)-1,$$ 取 $(x^2-1)^2-1=\sqrt 2$，则 $x=\pm \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 2}}$，进而 $f\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 2}}\right)=\dfrac 13$，考虑到 $$\dfrac{1+\sqrt 5}2,\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 2}}\in\left(\sqrt 2,\sqrt 3\right),$$ 因此选项 $\boxed{D}$ 正确．