每日一题[3402]车轮滚滚

设函数 $f(x)=[x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数 $y=f(x)$ 的图象与圆 $(x-t)^2+(y+t)^2=2 t^2$（$t>0$）的公共点个数可以是（       ）

A．$1$ 个

B．$2$ 个

C．$3$ 个

D．$4$ 个

答案    ABD．

解析    记题中圆为圆 $T$，圆心 $T(t,-t)$，函数 $f(x)$ 的图象由线段 $P_mQ_m$（$m\in\mathbb Z$，包含左端点不包含右段点）构成，其中 $P_m(m,m)$，$Q(m+1,m)$．考虑 $P_m,Q_m$ 与圆的位置关系，分别将 $P_m,Q_m$ 的坐标代入圆的方程，有

$$\begin{split} p_m&=(m-t)^2+(m+t)^2-2t^2=2m^2,\\ q_m&=(m+1-t)^2+(m+t)^2-2t^2=2m^2+2m+1-2t.\end{split}$$

情形一     $m=0$．此时 $p_m=0$，$q_m=1-2t$，于是点 $P_m$ 在圆上．因此当 $t\in \left(0,\dfrac 12\right)$ 时，线段 $P_0Q_0$ 与圆有 $2$ 个公共点；当 $t=\dfrac 12$ 时，线段 $P_0Q_0$ 与圆有 $1$ 个公共点；当 $t\in\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 时，线段 $P_0Q_0$ 与圆没有公共点．

情形二     $m\ne 0$．此时 $p_m>0$，于是点 $P_m$ 在圆外．接下来证明

引理    当且仅当 $Q_m$ 在圆内时，线段 $P_mQ_m$ 与圆有唯一公共点，否则没有公共点．

引理的证明    当 $Q_m$ 在圆上以及圆内时引理显然成立．当 $Q_m$ 在圆外时，若线段 $P_mQ_m$ 与圆有公共点，则 $T$ 在 $P_mQ_m$ 上的投影在线段内部，且 $T$ 到 $P_mQ_m$ 的距离不大于圆 $T$ 的半径，即

$$\begin{cases} m<t<m+1,\\ m+t\leqslant \sqrt 2t ,\end{cases}\iff \begin{cases} m<t<m+1,\\ t\geqslant \left(\sqrt 2+1\right)m,\end{cases}$$ 由 $t<m+1$ 可得 $m+1>0$，于是 $m\geqslant 1$，进而 $$t\geqslant\left(\sqrt 2+1\right)m=m+\sqrt 2m\geqslant m+\sqrt 2>m+1,$$ 矛盾．因此引理成立．

回到原题    考虑 $m=\pm 1,\pm 2,\cdots$ 时的分界点，依次为

$$\dfrac 12,\dfrac 52,\dfrac{13}2,\dfrac{41}2,\cdots,k^2+k+\dfrac 12,\cdots,$$ 其中 $k\in\mathbb N$．这样就有所求公共点个数为 $$\begin{cases} 2,&t\in\left(0,\dfrac 12\right),\\ 1,&t=\dfrac 12,\\ 2k+2,&t\in\left(k^2+k+\dfrac 12,(k+1)^2+k+\dfrac 32\right].\end{cases}$$

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．