2024年中科大入学考试数学试卷 #4
设复数 $z,w$ 满足 $z+w=1$ 且 $z w=\mathrm i$，其中 $\mathrm i$ 是虚数单位，则 $z^5+w^5=$_____．
答案 $-4-5\mathrm i$．
解析 根据题意，$z,w$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2-x+\mathrm i=0\]的两根，而\[x^5=(x^2-x+\mathrm i)\big(x^3+x^2+(1-\mathrm i)x+(1-2\mathrm i)\big)+(-3\mathrm i) x+(-2-\mathrm i),\]于是\[z^5+w^5=(-3\mathrm i) (z+w)+2(-2-\mathrm i)=-4-5\mathrm i.\]