每日一题[3220]旋转下的最值

如图，圆锥 $V A B$ 内有一个内切球 $O$，球 $O$ 与母线 $V A, V B$ 分别切于点 $C, D$．若 $\triangle V A B$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$O_{1}$ 为圆锥底面圆的中心，$M N$ 为圆 $O_{1}$ 的一条直径 $(M N$ 与 $A B$ 不重合），则下列说法正确的是（       ）

A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为 $2: 3$

B．平面 $C M N$ 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线

C．四面体 $C D M N$ 的体积的取值范围是 $\left(0, \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$

D．若 $P$ 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 $|PM|+|PN|$ 最大值为 $2 \sqrt{2}$

答案    ABD．

解析  对于选项 $\boxed{A}$，球的半径为 $\dfrac{\sqrt 3}3$，圆锥的底面半径为 $1$，母线长为 $2$，因此所求表面积之比为

$$\dfrac{4\pi \left(\dfrac{\sqrt 3}3\right)^2}{\pi \cdot 1\cdot 2}=\dfrac 23,$$ 命题正确．

对于选项 $\boxed{B}$，平面 $CMN$ 与圆锥面的轴线夹角为 $30^\circ$，与母线和轴线的夹角相同，因此所求交线形状为抛物线，命题正确．

对于选项 $\boxed{C}$，四面体 $CDMN$ 的体积

$$[CDMN]=\dfrac 16\cdot |CD|\cdot |MN|\cdot d(CD,MN)\cdot \sin\langle CD,MN\rangle=\dfrac{\sqrt 3}6\cdot \sin\langle CD,MN\rangle,$$ 因此其取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 3}6\right]$，命题错误．

对于选项 $\boxed{D}$，由于 $|O_1P|=|O_1M|=|O_1N|$，于是 $PM\perp PN$，从而

$$|PM|+|PN|\leqslant 2\sqrt{\dfrac{|PM|^2+|PN|^2}2}=2\sqrt 2,$$ 等号当 $|PM|=|PN|$ 时取得，因此 $|PM|+|PN|$ 的最大值为 $2\sqrt 2$，命题正确．

综上所述，正确的说法是 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．