每日一题[3194]整合变量

如图所示，$O$ 为坐标原点，点 $F$ 为抛物线 $C_1: x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点，且抛物线 $C_1$ 上点 $P$ 处的切线与圆 $C_2:x^2+y^2=1$ 相切于点 $Q$．

1、当直线 $P Q$ 的方程为 $x-y-\sqrt{2}=0$ 时，求抛物线 $C_1$ 的方程．

2、当正数 $p$ 变化时，记 $S_1,S_2$ 分别为 $\triangle F P Q,\triangle F O Q$ 的面积，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值．

解析

1、根据题意，直线 $PQ:~x-y-\sqrt 2=0$ 与抛物线 $C_1$ 相切，于是方程

$$2px-x^2-2p\sqrt 2=0$$ 的判别式 $$\Delta=4p^2-8p\sqrt 2=0\implies p=2\sqrt 2,$$ 从而抛物线 $C_1$ 的方程为 $x^2=4\sqrt 2y$．

2、设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，不妨设 $x_1>0$，则 $PQ$ 的方程为

$$x_1x=p(y+y_1),\quad x_2x+y_2y=1,$$ 对比可得 $$\dfrac{x_1}{py_1}=x_2,\quad -\dfrac{1}{y_1}=y_2,$$ 而 $x_1^2=2py_1$，$x_2^2+y_2^2=1$，于是 $x_2=\dfrac{2}{x_1}$，$y_2=-\dfrac{2p}{x_1^2}$，且 $$x_2^2+y_2^2=1\implies \dfrac{4}{x_1^2}+\dfrac{4p^2}{x_1^4}=1\implies \begin{cases} p^2=\dfrac 14x_1^4-x_1^2,\\ x_1\geqslant 2,\end{cases}$$ 则 $$\begin{split}\dfrac{S_1}{S_2}&=\dfrac{\dfrac 12\cdot |PQ|\cdot d(F,PQ)}{\dfrac 12\cdot |OF|\cdot |x_2|}\\ &=\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{x_1^2}{p^2}}\cdot \left(x_1-x_2\right)\cdot \dfrac{p\left(\dfrac p2+y_1\right)}{\sqrt{x_1^2+p^2}}}{\dfrac p2\cdot x_2}\\ &=\dfrac{(x_1-x_2)(p^2+2py_1)}{\dfrac{2p^2}{x_1}}\\ &=\dfrac{(x_1^2-2)(p^2+x_1^2)}{2p^2}\\ &=\dfrac{x_1^4-2x_1^2}{2x_1^2-8}\\ &=\dfrac{x_1^2-4}{2}+\dfrac{4}{x_1^2-4}+3\\ &\geqslant 2\sqrt 2+3, \end{split}$$ 等号当 $\dfrac{x_1^2-4}{2}=\dfrac4{x_1^2-4}$ 即 $x_1^2=4+2\sqrt 2$，也即 $p=\sqrt{2+2\sqrt 2}$ 时取得，因此所求最小值为 $2\sqrt 2+3$．