每日一题[3168]资源争夺

$n$ 个学生参加一次数学考试，试卷由 $m$ 道题组成，考虑如下的统计结果：设 $\alpha$（$0<\alpha<1$）是一个实数，至少有 $\alpha m$ 道题为难题（一道题是难题是指至少有 $\alpha n$ 个学生未解出此题），且至少有 $\alpha n$ 个学生及格（一个学生及格是指他至少解决了 $\alpha m$ 道题）．试就 $\alpha=\dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{10}$ 确定上述情形是否可能？

解析    假设数学考试中难题有 $r$（$r\geqslant \alpha m$）道，及格的学生有 $t$（$t>\alpha n$）个，作 $n\times m$ 的 $01$ 数表，其中 $(i,j)$（$1\leqslant i\leqslant n$，$1\leqslant j\leqslant m$，$i,j\in\mathbb N^{\ast}$）表示第 $i$ 个学生对第 $j$ 题的作答是否正确，$0$ 表示未解出，$1$ 表示解出，不妨设前 $r$ 列表示难题，前 $t$ 行表示及格学生．

考虑及格学生，由于非难题至多 $m-r$ 道，因此某个及格学生解出难题数至少为

$$\alpha m-(m-r)=r-(1-\alpha)m\geqslant r-(1-\alpha)\cdot \dfrac {r}{\alpha}=\left(2-\dfrac 1{\alpha}\right)r,$$ 于是在数表左上角的 $t\times r$ 的部分至少有 $\left(2-\dfrac 1{\alpha}\right)rt$ 个 $1$．

类似地，考虑难题，由于不及格学生至多 $(1-\alpha)n$ 个，因此未解出某个难题的及格学生至少有

$$\alpha n-(n-t)=t-(1-\alpha)n\geqslant t-(1-\alpha)\cdot \dfrac {t}{\alpha}=\left(2-\dfrac 1{\alpha}\right)t,$$ 于是在数表左上角的 $t\times r$ 的部分至少有 $\left(2-\dfrac 1{\alpha}\right)tr$ 个 $0$．

这样，在数表左上角的 $t\times r$ 的部分，有

$$t\cdot r\geqslant \left(2-\dfrac 1{\alpha}\right)rt+\left(2-\dfrac 1{\alpha}\right)tr\iff \alpha\leqslant \dfrac 23.$$ 构造数表 $$\begin{array}{c|c|c}\hline 0&1&1\\ \hline 1&0&1\\ \hline 0&0&1\\ \hline \end{array}$$ 即 $\alpha=\dfrac 23$ 的例子．

综上所述，$\alpha=\dfrac 23$ 可能，$\alpha=\dfrac 7{10}$ 不可能．