设递推数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足：$x_{n+1}=x_n^2-4 x_n, ~n=1,2, \cdots$，如果对任意的首项 $x_1 \in \mathbb R$ 且 $x_1 \neq 0$，数列中一定存在某项 $x_k \geqslant m$，则 $m$ 的最大值为 _______．
答案 $\dfrac{3+\sqrt{21}}2$．
解析 设迭代函数 $f(x)=x^2-4x$，则对应的不动点为 $x=0,5$．考虑其二阶不动点，解方程组（$\alpha>\beta$）：\[\begin{cases} \alpha^2-4\alpha=\beta,\\ \beta^2-4\beta=\alpha,\end{cases}\iff \begin{cases} \alpha^2+\beta^2=5(\alpha+\beta),\\ \alpha+\beta=3,\end{cases}\iff \begin{cases} \alpha=\dfrac{3+\sqrt{21}}2,\\ \beta=\dfrac{3-\sqrt{21}}2,\end{cases}\]于是取 $x_1=\beta$，则 $x_n\in\{\alpha,\beta\}$，从而 $m\leqslant \alpha$． 接下来证明 $m=\alpha$ 符合题意．用反证法，若数列 $\{x_n\}$ 中任何项都小于 $\alpha$，则\[4-\alpha<x_k<\alpha,~k\in\mathbb N^{\ast},\]于是\[x_{n+1}-x_n=x_n^2-5x_n\in\left[-\dfrac{25}4,(4-\alpha)^2-5(4-\alpha)\right),\]记 $t=(4-\alpha)^2-5(4-\alpha)$，则 $t<0$，且\[x_{n+1}<x_1+nt,\]这与数列 $\{x_n\}$ 有下界 $4-\alpha$ 矛盾，因此 $m$ 的最大值为 $\alpha=\dfrac{3+\sqrt{21}}2$．