函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}$ 在区间 $[t,+\infty)$（$t \in \mathbb{N}^{*}$）上存在极值，则 $t$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$4$
D．$5$
答案 B．
解析 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1+\dfrac 1x-\ln x}{(1+x)^2},\]其分子 $g(x)=1+\dfrac 1x-\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，而\[g(3)=\dfrac 43-\ln 3>0>\dfrac 54-\ln 4=g(4),\]其中用到了\[\ln 3<\dfrac 12\left(3-\dfrac 13\right)=\dfrac 43,\quad \ln 4=2\ln 2>2\cdot \dfrac{2(2-1)}{2+1}=\dfrac 43>\dfrac 54,\]因此函数 $f(x)$ 存在唯一极值点 $x_0\in (3,4)$，因此 $t$ 的最大值为 $3$．