已知函数 $f(x)=m \mathrm{e}^x-x-n-1$（$m, n \in \mathbb{R}$），若 $f(x) \geqslant-1$ 对任意的 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立，则 $m n$ 的最大值是（ ）
A．$\mathrm{e}^{-2}$
B．$-\mathrm{e}^{-2}$
C．$\mathrm{e}^{-1}$
D．$-\mathrm{e}^{-1}$
答案 B．
解析 根据题意，有 $m>0$（否则当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，不符合题意），于是\[mn\leqslant m\cdot \min\left\{m{\rm e}^x-x\right\}=m\cdot (1+\ln m),\]设 $g(x)=x(1+\ln x)$，则其导函数\[g'(x)=\ln x+2,\]因此其最大值为\[g\left({\rm e}^{-2}\right)=-{\rm e}^{-2},\]因此 $mn$ 的最大值为 $-{\rm e}^{-2}$，当 $m={\rm e}^{-2}$，$n=-1$ 时取得．