每日一题[3109]圆锥曲线论

阿波罗尼奥斯在其著作 《圆锥曲线论》中提出：过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上任意一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的切线方程为 $\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1$．若已知 $\triangle A B C$ 内接于椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），且坐标原点 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心，过 $A, B, C$ 分别作椭圆 $E$ 的切线，切线分别相交于点 $D, E, F$，则 $\triangle DEF$ 与 $\triangle ABC$ 的面积之比为_______．

答案    $4$．

解析    将椭圆通过伸缩变换 $x=x'$，$y=\dfrac bay'$ 变为圆，则 $O$ 仍然是 $\triangle A'B'C'$ 的重心，且此时 $O$ 为 $\triangle A'B'C'$ 的外心，因此 $\triangle A'B'C'$ 是正三角形，进而 $\triangle D'E'F'$ 也是正三角形，且其边长为 $\triangle A'B'C'$ 边长的 $2$ 倍，因此\[\dfrac{[\triangle DEF]}{[\triangle ABC]}=\dfrac{[\triangle D'E'F']}{[\triangle A'B'C']}=4.\]