每日一题[3107]爬楼梯

若函数 $f(x), g(x)$ 的图象与直线 $x=m$ 分别交于 $A, B$ 两点，与直线 $x=n$ 分别交于 $C, D$ 两点（$m<n$），且直线 $A C, B D$ 的斜率互为相反数，则称 $f(x), g(x)$ 为 $(m, n)$ 相关函数．

1、若 $f(x), g(x)$ 均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数 $m, n$，使得 $f(x), g(x)$ 为 $(m, n)$ 相关函数．

2、已知 $f(x)=\mathrm{e}^{ax}$，$g(x)=a x^2$，若存在实数 $m, n$，且 $mn>0$，使得 $f(x), g(x)$ 为 $(m, n)$ 相关函数，且 $|A B|=|C D|$，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，$A(m,f(m)),B(m,g(m)),C(n,f(n)),D(n,g(n))$，直线 $AC,BD$ 的斜率之和为

$$S(m,n)=\dfrac{f(n)-f(m)}{n-m}+\dfrac{g(n)-g(m)}{n-m}=\dfrac{f(n)+g(n)-f(m)-g(m)}{n-m},$$ 当 $f(x),g(x)$ 均为单调递增函数时，$f(n)>f(m)$ 且 $g(n)>g(m)$，因此 $S(m,n)>0$，因此不存在实数 $m, n$，使得 $f(x), g(x)$ 为 $(m, n)$ 相关函数．

2、根据题意，有

$$\begin{cases} f(n)+g(n)=f(m)+g(m),\\ |f(n)-g(n)|=|f(m)-g(m)|,\end{cases}\iff \begin{cases} f(m)=f(n),\\ g(m)=g(n),\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} f(m)=g(n),\\ g(m)=f(n),\end{cases}$$ 第一个方程组解得 $a=0$，第二个方程组即 $$\begin{cases} {\rm e}^{am}=an^2,\\ {\rm e}^{an}=am^2,\end{cases}\iff \begin{cases} am=2\ln |n|+\ln a,\\ an=2\ln |m|+\ln a,\end{cases}$$ 若 $n>m>0$，则 $$\begin{cases} am<an,\\ 2\ln |n|+\ln a>2\ln|m|+\ln a,\end{cases}$$ 矛盾． 若 $0>n>m$，则 $$\begin{cases} am=2\ln(-n)+\ln a,\\ an=2\ln(-m)+\ln a,\end{cases}\implies \begin{cases} a\left(-\sqrt{\dfrac 1a{\rm e}^{an}}\right)=2\ln (-n)+\ln a,\\ a\left(-\sqrt{\dfrac 1a{\rm e}^{am}}\right)=2\ln (-m)+\ln a,\end{cases}$$ 设 $h(x)=\sqrt{a}{\rm e}^{-\frac a2x}+2\ln x+\ln a$，则该函数至少有两个正零点．函数 $h(x)$ 的导函数 $$h'(x)=\dfrac{1}{2x}\left(4-a^{\frac 32}x{\rm e}^{-\frac a2x}\right),$$ 设 $\varphi(x)=x{\rm e}^x$，则有 $$h'(x)=\dfrac{1}{x}\left(2+\sqrt a\cdot \varphi\left(-\dfrac a2x\right)\right),$$ 由于 $\varphi'(x)=(x+1){\rm e}^x$，因此 $\varphi\left(-\dfrac a2x\right)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上的取值范围是 $\left[-{\rm e}^{-1},1\right)$． [[case]]情形一[[/case]] $0<\sqrt a\leqslant 2{\rm e}$．此时 $h'(x)>0$，于是 $h(x)$ 单调递增，不可能有两个正零点，不符合题意． [[case]]情形二[[/case]] $\sqrt a>2{\rm e}$．此时 $h(x)$ 有两个极值点，分别在 $x=\dfrac 2a$ 两侧，而 $$h\left(\dfrac 2a\right)=-\left(\ln \dfrac{\sqrt a}{2{\rm e}}-\dfrac{\sqrt a}{2{\rm e}}+1\right)>0,$$ 而当 $x\to 0$ 时，$h(x)\to -\infty$，因此 $h(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 2a\right)$ 上有零点，设为 $x_1$，则 $$x_2=-\dfrac{2\ln x_1+\ln a}{a}>-\dfrac{2\ln\dfrac 2a+\ln a}{a}=\dfrac 1a\ln\dfrac{a}{4}>\dfrac 2a>x_1,$$ 因此取 $(m,n)=(-x_2,-x_1)$ 即符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{0\}\cup\left(4{\rm e}^2,+\infty\right)$．