每日一题[3104]裂项放缩

已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right) \ln (x+1)$．

1、求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率．

2、当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$．

3、证明：$\dfrac{5}{6}<\ln (n !)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leqslant 1$． 参考数据：$\ln2=0.6931\cdots$，$\ln 3=1.0986\cdots$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac1{2(x+1)}-\dfrac{\ln (x+1)}{x^2},$$ 因此所求斜率为 $$f'(2)=\dfrac 13-\dfrac14\ln3.$$

2、也即证明当 $x>0$ 时，有\[\ln(x+1)>\dfrac{2x}{x+2},\]根据对数函数的进阶放缩，该不等式成立，命题得证．

3、设 $S_n=\ln(n!)-\left(n+\dfrac 12\right)\ln n+n$，则

$$\begin{split} S_{n+1}-S_n&=1+\left(n+\dfrac12\right)\ln n-\left(n+\dfrac 12\right)\ln(n+1)\\ &=1-\left(n+\dfrac 12\right)\ln\left(1+\dfrac 1n\right)\\ &=1-f\left(\dfrac 1n\right)\\ &<0,\end{split}$$ 因此数列 $\{S_n\}$ 单调递减，有 $$S_n\leqslant S_1=1,$$ 右边不等式得证． 对于左边不等式，即证明 $$\sum_{k=1}^n\left(f\left(\dfrac 1k\right)-1\right)<\dfrac 16\iff \sum_{k=1}^n\left(\left(k+\dfrac 12\right)\ln\left(\dfrac 1k+1\right)-1\right)<\dfrac 16,$$ 由于 $$\left(k+\dfrac 12\right)\ln\left(\dfrac 1k+1\right)-1<\left(k+\dfrac 12\right)\cdot \dfrac 12\left(\dfrac{k+1}k-\dfrac k{k+1}\right)-1=\dfrac{1}{4k(k+1)}=\dfrac14\left(\dfrac 1k-\dfrac1{k+1}\right),$$ 因此 $$\sum_{k=1}^n\left(\left(k+\dfrac 12\right)\ln\left(\dfrac 1k+1\right)-1\right)<\dfrac32\ln 2-1+\sum_{k=2}^n\dfrac 14\left(\dfrac 1k-\dfrac{1}{k+1}\right)<\dfrac32\ln2+\dfrac 18,$$ 接下来证明 $$\dfrac32\ln2-\dfrac 78<\dfrac 16\impliedby \ln 2<\dfrac{25}{36},$$ 命题得证．

备注    事实上，当 $0<x<1$ 时，有

$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}<2x+\dfrac{2x^3}{3(1-x^2)},$$ 令 $x=\dfrac 13$ 即得 $\ln 2<\dfrac{25}{36}$．