每日一题[3082]正弦过路

在 $A B C$ 中， $A B=2$ ， $\angle B A C=60^{\circ}$ ， $B C=\sqrt{6}$ ， $D$ 为 $B C$ 上一点， $A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线，则 $A D=$ _______．

答案 $2$．

解析根据正弦定理，有

\sin C = \frac{A B}{B C} \cdot \sin A = \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2},

$\sin C=\dfrac{AB}{BC}\cdot \sin A=\dfrac{2}{\sqrt 6}\cdot \dfrac{\sqrt 3}2=\dfrac{\sqrt 2}2,$ 于是

C = 45^{\circ}

$C=45^\circ$ （

C < 120^{\circ}

$C<120^\circ$ ，因此舍去

135^{\circ}

$135^\circ$ 的解）．因此

B = 75^{\circ}

$B=75^\circ$ ，而

∠ A D B = 75^{\circ}

$\angle ADB=75^\circ$ ，从而

A D = A B = 2

$AD=AB=2$ ．

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