每日一题[3080]极值判断

解答：

1、证明：当 $0<x<1$ 时，$x-x^2<\sin x<x$．

2、已知函数 $f(x)=\cos ax-\ln\left(1-x^2\right)$，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、设 $g(x)=x-\sin x$，则其导函数

$$g'(x)=1-\cos x\geqslant 0,$$ 于是 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，结合 $g(0)=0$，可得在该区间上 $g(x)>0$； 设 $h(x)=\sin x-(x-x^2)$，则其导函数 $$g'(x)=\cos x-1+2x>2\sin x+\cos x-1=\sin x+\sqrt{1+\sin 2x}-1>0,$$ 于是 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，结合 $h(0)=0$，可得在该区间上 $h(x)>0$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=-a\sin (ax)+\dfrac{2x}{1-x^2},$$ 有 $f'(0)=0$，其二阶导函数 $$f''(x)=-a^2\cos(ax)+\dfrac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2},$$ 因此 $f''(0)=2-a^2$，讨论分界点为 $|a|=\sqrt 2$．

情形一    $|a|\leqslant \sqrt 2$．此时 $f''(x)$ 在 $(0,0.1)$ 上单调递增，且 $f''(0)\geqslant 0$，因此在该区间上 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，与 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点不符．

情形二     $|a|>\sqrt 2$．此时 $f''(x)$ 在 $\left(0,\min\left\{1,\dfrac{\pi}{|a|}\right\}\right)$ 上单调递增，且 $f''(0)< 0$，考虑到

$$f\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{|a|}}\right)\geqslant -a^2+2a^2>0,$$ 且 $f''(x)$ 是偶函数，于是函数 $f''(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{1-\dfrac{1}{|a|}}\right)$ 上有唯一零点，设为 $x_0$，因此在区间 $(-x_0,x_0)$ 上，有 $f''(x)<0$，从而 $f'(x)$ 在 $(-x_0,0)$ 上取正值，在 $(0,x_0)$ 上取负值，此时 $f(x)$ 在 $x=0$ 的左侧单调递增，右侧单调递减，符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\sqrt 2\right)\cup\left(\sqrt 2,+\infty\right)$．