每日一题[3065]表面距离

已知正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $2$，点 $M, N$ 分别为 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A B D$ 的重心，$P$ 为线段 $C N$ 上一点，则下列结论正确的是（       ）

A．若 $A P+B P$ 取得最小值，则 $C P=P N$

B．若 $C P=3 P N$，则 $D P \perp A B C$

C．若 $D P \perp$ 平面 $A B C$，则三棱锥 $P-A B C$ 外接球的表面积为 $\dfrac{27 \pi}{2}$

D．直线 $M N$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\dfrac{2 \sqrt{6}}{9}$

答案    BCD．

解析    如图．

对于选项 $\boxed{A}$，由于 $CN\perp ABD$，于是 $A,B$ 在 $CN$ 上的投影均为 $N$，因此 $$AP+BP\geqslant AN+BN,$$ 等号当 $P=N$ 时取得，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，连接 $DM$ 与 $CN$ 交于点 $O$，则 $O$ 为正四面体 $ABCD$ 的中心，此时由 $CP=3PN$ 可得 $P=O$，因此 $DP\perp ABC$，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，若 $DP\perp ABC$，则 $P=O$，此时三棱锥 $P-ABC$ 的外接球球心 $O'$ 在直线 $DM$ 上，设 $\overline{MO'}=x$，而 $AM=\dfrac{2}{\sqrt 3}$，于是 $$AM^2+MO'^2=OO'^2\iff \dfrac 43+x^2=\left(x+\dfrac{1}{\sqrt 6}\right)^2\iff x=\dfrac{7}{2\sqrt 6},$$ 此时所求表面积为 $$4\pi\cdot OO'^2=\dfrac{27\pi}2,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，直线 $MN$ 与平面 $ACD$ 平行，因此 $$d(MN,ACD)=d(M,ACD)=\dfrac{[\triangle ACM]}{[\triangle ACD]}\cdot d(D,ACM)=\dfrac13\cdot \dfrac{2\sqrt 6}3=\dfrac{2\sqrt 6}9,$$ 选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．