每日一题[3065]表面距离

已知正四面体 ABCD 的棱长为 2,点 M,N 分别为 ABCABD 的重心,P 为线段 CN 上一点,则下列结论正确的是(       )

A.若 AP+BP 取得最小值,则 CP=PN

B.若 CP=3PN,则 DPABC

C.若 DP 平面 ABC,则三棱锥 PABC 外接球的表面积为 27π2

D.直线 MN 到平面 ACD 的距离为 269

答案    BCD.

解析    如图.

对于选项 A,由于 CNABD,于是 A,BCN 上的投影均为 N,因此AP+BP等号当 P=N 时取得,选项错误;

对于选项 \boxed{B},连接 DMCN 交于点 O,则 O 为正四面体 ABCD 的中心,此时由 CP=3PN 可得 P=O,因此 DP\perp ABC,选项正确;

对于选项 \boxed{C},若 DP\perp ABC,则 P=O,此时三棱锥 P-ABC 的外接球球心 O' 在直线 DM 上,设 \overline{MO'}=x,而 AM=\dfrac{2}{\sqrt 3},于是AM^2+MO'^2=OO'^2\iff \dfrac 43+x^2=\left(x+\dfrac{1}{\sqrt 6}\right)^2\iff x=\dfrac{7}{2\sqrt 6},此时所求表面积为4\pi\cdot OO'^2=\dfrac{27\pi}2,选项正确;

对于选项 \boxed{D},直线 MN 与平面 ACD 平行,因此d(MN,ACD)=d(M,ACD)=\dfrac{[\triangle ACM]}{[\triangle ACD]}\cdot d(D,ACM)=\dfrac13\cdot \dfrac{2\sqrt 6}3=\dfrac{2\sqrt 6}9,选项正确.

综上所述,正确的选项为 \boxed{B} \boxed{C} \boxed{D}

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复