每日一题[3032]分而治之

已知函数 $f(x)=\dfrac{a}{2} x^2-x-x \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、若 $a=2$，求方程 $f(x)=0$ 的解．

2、若 $f(x)$ 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为 $x_1, x_2$，求 $a$ 的取值范围并证明： $$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)<\frac{1}{2 \mathrm{e}} .$$

解析

1、当 $a=2$ 时，方程 $f(x)=0$ 即 $$x^2-x-x\ln x=0\iff x(x-1-\ln x)=0,$$ 而 $x-1-\ln x\geqslant 0$ 等号当且仅当 $x=1$ 时取得，因此所求方程的解为 $x=1$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=ax-2-\ln x,$$ 其二阶导函数 $$f''(x)=a-\dfrac 1x.$$ 当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f'(x)$ 单调递减，与 $f(x)$ 有两个极值点不符；当 $a>0$ 时，函数 $f'(x)$ 的极小值也为最小值是 $f'\left(\dfrac 1a\right)=-1+\ln a$，考虑到当 $x\to 0$ 和 $x\to +\infty$ 时均有 $f'(x)\to +\infty$，因此 $f(x)$ 有两个极值点等价于 $$-1+\ln a<0\iff 0<a<{\rm e}.$$ 设函数 $f(x)$ 的极值点为 $t$，则 $$at-2-\ln t=0\iff a=\dfrac{2+\ln t}{t},$$ 此时极值 $$T=f(t)=\dfrac a2t^2-t-t\ln t=-\dfrac 12t\ln t,$$ 不妨设 $x_1<x_2$，则 $f(x)$ 有两个零点等价于 $0<x_1<1<x_2$，设 $g(x)=\dfrac{2+\ln x}{x}$，则 $$g'(x)=\dfrac{-1-\ln x}{x^2},$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$ 上单调递减，因此 $0<x_1<1<x_2$ 等价于 $0<a<2$，所以 $a$ 的取值范围是 $(0,2)$．此时 $$a=\dfrac{2+\ln x_1}{x_1}=\dfrac{2+\ln x_2}{x_2},$$ 且 $$f(x_1)+f(x_2)<\dfrac{1}{2{\rm e}}\iff -\dfrac 12x_1\ln x_1-\dfrac 12x_2\ln x_2<\dfrac{1}{2{\rm e}}\iff x_1\ln x_1+x_2\ln x_2>-\dfrac{1}{\rm e} ,$$ 而 $0<x_1<\dfrac{1}{\rm e}$，$1<x_2$，从而 $$x_1\ln x_1>-\dfrac{1}{\rm e},\quad x_2\ln x_2>0,$$ 命题得证．函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=ax-2-\ln x,$$ 其二阶导函数 $$f''(x)=a-\dfrac 1x.$$ 当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f'(x)$ 单调递减，与 $f(x)$ 有两个极值点不符；当 $a>0$ 时，函数 $f'(x)$ 的极小值也为最小值是 $f'\left(\dfrac 1a\right)=-1+\ln a$，考虑到当 $x\to 0$ 和 $x\to +\infty$ 时均有 $f'(x)\to +\infty$，因此 $f(x)$ 有两个极值点等价于 $$-1+\ln a<0\iff 0<a<{\rm e}.$$ 设函数 $f(x)$ 的极值点为 $t$，则 $$at-2-\ln t=0\iff a=\dfrac{2+\ln t}{t},$$ 此时极值 $$T=f(t)=\dfrac a2t^2-t-t\ln t=-\dfrac 12t\ln t,$$ 不妨设 $x_1<x_2$，则 $f(x)$ 有两个零点等价于 $0<x_1<1<x_2$，设 $g(x)=\dfrac{2+\ln x}{x}$，则 $$g'(x)=\dfrac{-1-\ln x}{x^2},$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$ 上单调递减，因此 $0<x_1<1<x_2$ 等价于 $0<a<2$，所以 $a$ 的取值范围是 $(0,2)$．此时 $$a=\dfrac{2+\ln x_1}{x_1}=\dfrac{2+\ln x_2}{x_2},$$ 且 $$f(x_1)+f(x_2)<\dfrac{1}{2{\rm e}}\iff -\dfrac 12x_1\ln x_1-\dfrac 12x_2\ln x_2<\dfrac{1}{2{\rm e}}\iff x_1\ln x_1+x_2\ln x_2>-\dfrac{1}{\rm e} ,$$ 而 $0<x_1<\dfrac{1}{\rm e}$，$1<x_2$，从而 $$x_1\ln x_1>-\dfrac{1}{\rm e},\quad x_2\ln x_2>0,$$ 命题得证．