已知函数 $f(x)=x-2-\ln ^2 x-a \ln x$（$a \in \mathbb R$）．
1、令 $g(x)=x f^{\prime}(x)$，讨论 $g(x)$ 的单调性并求极值．
2、令 $h(x)=f(x)+2+\ln ^2 x$，若 $h(x)$ 有两个零点．
① 求 $a$ 的取值范围；
② 若方程 $x {\rm e}^x-a(\ln x+x)=0$ 有两个实数解 $x_1, x_2$，证明：${\rm e}^{x_1+x_2}>\dfrac{{\rm e}^2}{x_1 x_2}$．
解析
1、根据题意，有\[f'(x)=\dfrac{x-2\ln x-a}{x},\]于是\[g(x)=x-2\ln x-a,\]其导函数\[g'(x)=\dfrac{x-2}{x},\]于是函数 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=2$ 处取得极小值 $2-2\ln 2-a$，没有极大值．
2、函数 $h(x)=x-a\ln x$，于是\[h(x)=0\iff \dfrac 1a=\dfrac{\ln x}{x},\]设 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则\[g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]
① 若 $h(x)$ 有两个零点，则 $\dfrac 1a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $({\rm e},+\infty)$．
② 根据题意，有\[x_1{\rm e}^{x_1}-a(\ln x_1+x_1)=x_2{\rm e}^{x_2}-a(\ln x_2+x_2)=0,\]记 $t_1=x_1{\rm e}^{x_1}$，$t_2=x_2{\rm e}^{x_2}$，则\[t_1-a\ln t_1=t_2-a\ln t_2=0,\]根据对数平均不等式，有\[\sqrt{t_1t_2}<\dfrac{t_1-t_2}{\ln t_1-\ln t_2}=a<\dfrac{t_1+t_2}2,\]从而\[t_1t_2<a^2,\quad t_1+t_2>2a.\]欲证不等式即\[t_1t_2>{\rm e}^2\iff \ln t_1+\ln t_2>2\iff \dfrac{t_1+t_2}a>2,\]因此命题得证．