每日一题[2943]极值偏移

已知函数 $f(x)=(x-2) {\rm e}^x+a\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)$．

1、讨论 $f(x)$ 的极值点的个数．

2、若 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点 $x_1, x_2, x_3$（其中 $x_1<x_2<x_3$），证明：$x_1 x_3<x_2^2$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\begin{cases} -1,&x=0,\\ x(x-1)\left(\dfrac{{\rm e}^{x}}x+a\right),&x\ne 0\end{cases}$$ 讨论分界点为 $a=-{\rm e},0$，进而可得 $f(x)$ 的极值点个数为 $$\begin{cases} 3,&a\in (-\infty,-{\rm e}),\\ 1,&a\in [-{\rm e} ,0],\\ 2,&a\in (0,+\infty).\end{cases}$$

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $x_2=1$，且

$$\dfrac{{\rm e}^{x_1}}{x_1}+a=\dfrac{{\rm e}^{x_3}}{x_3}+a=0,$$ 进而 $$x_1-\ln x_1=x_3-\ln x_3=\ln(-a),$$ 根据对数平均不等式，有 $$\sqrt{x_1x_3}<\dfrac{x_1-x_3}{\ln x_1-\ln x_3}=1<\dfrac{x_1+x_3}2,$$ 于是 $$x_1x_3<1,\quad x_1+x_3>2,$$ 命题得证．