每日一题[2930]指数放缩

设 $a=\dfrac{1}{2022}$，$b=\tan\dfrac{1}{2023}\cdot {\rm e}^{\frac{1}{2022}}$，$c=\sin\dfrac{1}{2023}\cdot {\rm e}^{\frac{1}{2023}}$，则（       ）

A．$c<b<a$

B．$c<a<b$

C．$a<c<b$

D．$a<b<c$

答案    B．

解析    设 $\dfrac{1}{2022}=x$，则 $\dfrac{1}{2023}=\dfrac x{x+1}$，从而

$$a=x,\quad b=\tan \dfrac{x}{x+1}\cdot {\rm e}^x,\quad c=\sin\dfrac{x}{x+1}\cdot {\rm e}^{\frac x{x+1}},$$ 有 $$c<\dfrac x{x+1}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac x{x+1}}=x=\dfrac x{x+1}\cdot (1+x)<b,$$ 其中用到了当 $x\in(0,1)$ 时，有 $$\sin x<x<<\tan x,\quad 1+x<{\rm e}^x<\dfrac{1}{1-x}.$$