已知 f(x)=cosx+mx2−1(x⩾).
1、若 f(x) \geqslant 0 在 [0,+\infty) 上恒成立,求实数 m 的取值范围.
2、证明:当 x \geqslant 0 时,\mathrm{e}^x-2 \geqslant \sin x-\cos x.
解析
1、注意到 f(0)=0,端点分析如下,函数 f(x) 的导函数f'(x)=-\sin x+2mx,有 f'(0)=0,其二阶导函数f''(x)=-\cos x+2m,有 f''(0)=2m-1,讨论分界点为 m=\dfrac 12.
情形一 m\geqslant \dfrac 12.此时有f(x)\geqslant \cos x+\dfrac 12x^2-1=2\cdot \left(\dfrac x2\right)^2-2\sin^2\dfrac x2\geqslant 0,符合题意.
情形二 0<m<\dfrac 12,则在区间 \left(0,\arccos(2m)\right) 上有 f''(x)<0,从而 f'(x) 单调递减,进而 f'(x)<0,从而 f(x) 单调递减,进而 f(x)<0,不符合题意.
情形三 m\leqslant 0.此时 f(x)\leqslant \cos x-1,当 x=\dfrac{\pi}2 时不符合题意. 综上所述,实数 m 的取值范围是 \left[\dfrac 12,+\infty\right).
2、根据题意,当 x\geqslant 0 时,有\begin{cases} {\rm e}^x\geqslant 1+x+\dfrac 12x^2,\\ x\geqslant \sin x,\\ \dfrac 12x^2-1\geqslant -\cos x,\end{cases}三式相加整理即得.