每日一题[2846]反用平均性质

已知动圆过定点 $A\left( {4,0} \right)$，且在 $y$ 轴上截得的弦 $MN$ 的长为 $8$．

1、求动圆圆心的轨迹 $C$ 的方程．

2、已知点 $B\left( { - 1,0} \right)$，设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P,Q$，若 $x$ 轴是 $\angle PBQ$ 的角平分线，证明直线 $l$ 过定点．

解析

1、本题考查动点的轨迹方程，利用圆的垂径定理建立等量关系再化简即可．

设 $C(x,y)$，则圆心 $C$ 到 $y$ 轴的距离 $d(C,y)=|x|$，根据圆的垂径定理，有

$$d^2(C,y)+\left(\dfrac 12|MN|\right)^2=|AC|^2\iff x^2+16=(x-4)^2+y^2,$$ 整理得所求轨迹 $C$ 的方程为 $y^2=8x$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，根据抛物线的平均性质利用点的坐标为参数表达条件是解决问题的关键．

设 $P(8a^2,8a)$，$Q(8b^2,8b)$，则由 $x$ 轴是 $\angle PBQ$ 的角平分线可得 $BP$ 与 $BQ$ 的斜率之和为 $0$，即

$$\dfrac{8a}{8a^2+1}+\dfrac{8b}{8b^2+1}=0\iff (8ab+1)(a+b)=0,$$ 由于直线 $l$ 不垂直于 $x$ 轴，于是 $a+b\ne 0$，从而 $8ab+1=0$，进而 $$8a^2\cdot 8b^2=1,$$ 因此根据抛物线的平均性质，直线 $l$ 过定点 $(1,0)$．