每日一题[2817]内外有别

已知圆 $M:{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 1$,圆 $N:{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 9$,动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切,圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.

1、求 $C$ 的方程.

2、$l$ 是与圆 $P,M$ 都相切的一条直线,$l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点,当圆 $P$ 的半径最长时,求 $\left| {AB} \right|$.

解析

1、本题考查圆与圆的位置关系以及椭圆方程的定义,将圆与圆的位置关系转化为到两定点的距离之和即可.

设动圆的半径为 $R$.因为圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切,所以\[\begin{split}\left| {PM} \right| + \left| {PN} \right| = \left( {R + 1} \right) + \left( {3 - R} \right) = 4.\end{split}\]由椭圆的定义可知,曲线 $C$ 是以 $M,N$ 为左、右焦点,长半轴长为 $ 2 $,短半轴长为 $\sqrt 3 $ 的椭圆(左顶点除外),其方程为\[\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1,~x\ne -2.\]

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,注意分情况讨论两种不同类型的切线是解决问题的关键.

当 $P$ 点位于椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的右顶点 $(2,0)$ 时,其半径最长,此时圆 $P:(x-2)^2+y^2=4$,直线 $l$ 可能是圆 $P,M$ 的外公切线,也有可能是 $P,M$ 的内公切线,如图.

情形一    直线 $l$ 是圆 $P,M$ 的外公切线.设直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $T$,则 $|TP|$ 与 $|TM|$ 为圆 $P,M$ 的半径之比,为 $2$,从而 $T(-4,0)$,因此直线 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 满足 $\sin\theta=\dfrac 13$,进而直线\[l:x=\pm 2\sqrt 2y-4,\]与椭圆方程联立可得\[\dfrac 73y^2-4\sqrt 2y+3=0,\]因此直线 $l$ 被椭圆截得的弦长\[|AB|=\sqrt{1+\left(2\sqrt 2\right)^2}\cdot \dfrac{\sqrt{\left(-4\sqrt2\right)^2-4\cdot \dfrac 73\cdot 3}}{\dfrac 73}=\dfrac{18}7.\]

情形二    直线 $ l $ 是圆 $ P,M $ 的内公切线.此时直线 $ l $ 为 $ y $ 轴,因此 $ |AB|=2\sqrt 3 $.

综上所述,当圆 $ P $ 的半径最长时,$ |AB|=\dfrac{18}7 $ 或 $ 2\sqrt 3$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复