每日一题[2805]螳臂当车

在正项等比数列 $\left\{ {a_n}\right\}$ 中，${a_5} = \dfrac{1}{2}$，${a_6} + {a_7} = 3$，则满足 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n} > {a_1}{a_2} \cdots {a_n}$ 的最大正整数 $n$ 的值为_______．

答案  $12$.

解析    本题考查等比数列的通项与前 $n$ 项和，把问题转化为关于 $n$ 的不等式恒成立问题后利用放缩得到必要条件然后加以验证是解决问题的关键． 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$（$q>0$），则 $$\begin{cases} a_5=\dfrac 12,\\ a_6+a_7=3,\end{cases} \iff \begin{cases} a_5=\dfrac 12,\\ a_5(q+q^2)=3,\end{cases} \iff \begin{cases} a_5=\dfrac 12,\\ q=2,\end{cases}$$ 因此 $a_n=2^{n-6}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．进而题中不等式即 $$\dfrac{2^n-1}{32}>2^{\frac{n(n-11)}{2}}\iff 2^n>2^{\frac {n^2-11n+10}2}+1.$$ 一方面，有 $$2^n>2^{\frac {n^2-11n+10}2}+1\implies 2^n>2^{\frac {n^2-11n+10}2}\implies n>\dfrac {n^2-11n+10}2,$$ 也即 $$n^2-13n+10<0\implies n<13.$$ 另一方面，当 $n=12$ 时，有 $$\dfrac{n^2-11n+10}2=11,$$ 于是此时 $$2^n=2^{12}=2^{11}+2^{11}>2^{\frac {n^2-11n+10}2}+1,$$ 符合题意． 综上所述，$n$ 的最大值为 $12$．