每日一题[2785]中位点

设 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 为平面 $\alpha $ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha $ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 点的一个中位点．例如，线段 $AB$ 上的任意点都是端点 $A,B$ 的中位点．则有下列命题：

① 若三个点 $A,B,C$ 共线，$C$ 在线段 $AB$ 上，则 $C$ 是 $A,B,C$ 的中位点；

② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；

③ 若四个点 $A,B,C,D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；

④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．

其中的真命题是______．（写出所有真命题的序号）

答案    ①④．

解析    本题考查对新定义的理解，反复应用三角形的两边之和大于第三边即可．

命题 ① 线段 $AB$ 上的任意点都是端点 $A,B$ 的中位点，命题正确．

命题 ② 反例：取直角三角形 $ABC$，其中 $C$ 为直角，$CA\ne CB$，$M$ 为斜边中点，$CH\perp AB$ 于 $H$，则\[|MA|+|MB|+|MC|=|AB|+|MC|>|HA|+|HB|+|HC|,\]于是 $M$ 不是 $A,B,C$ 的中位点．

命题 ③④ 对于平面上四点 $A,B,C,D$，考虑点 $P$，有\[|PA|+|PB|+|PC|+|PD|\geqslant |AB|+|CD|,\]等号当 $P$ 同时在线段 $AB$ 和 $CD$ 上时取得．因此

对于命题 ③，设 $A,C,D,B$ 依次共线，则线段 $CD$（包含端点）上的所有点是 $A,B,C,D$ 的中位点．

对于命题 ④，设 $AB$ 和 $CD$ 为梯形的对角线，命题成立．