每日一题[2783]区间长度

设函数 $f\left( x \right) = ax - \left( {1 + {a^2}} \right){x^2}$，其中 $a > 0$，区间 $I = \{x\mid f(x)>0\}$．

1、求 $I$ 的长度（注：区间 $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ 的长度定义为 $\beta - \alpha$）．

2、给定常数 $k \in \left( {0,1} \right)$，当 $1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．

解析

1、本题考查一元二次不等式的解法，分解因式后写出解集计算即可． 根据题意，有 $$\begin{split} I&=\{x\mid f(x)>0\}\\ &=\{x\mid ax-(1+a^2)x^2>0\}\\ &=\{x\mid x(a-(1+a^2)x)>0\}\\ &=\left(0,\dfrac{a}{1+a^2}\right),\end{split}$$ 因此区间 $I$ 的长度为 $\dfrac{a}{1+a^2}$．

2、本题考查分式函数的最值，确定最值位置后进行大小比较是解决问题的关键． 根据题意，有 $I$ 的长度 $$d(a)=\dfrac{a}{1+a^2}=\dfrac{1}{a+\dfrac 1a},$$ 因此 $d(a)$ 在 $a\in [1-k,1)$ 上单调递增，在 $a\in(1,1+k]$ 上单调递减，因此 $d(a)$ 长度的最小值 $$\min_{a\in [1-k,1+k]}d(a)=\min\{d(1-k),d(1+k)\},$$ 考虑到 $$\dfrac{d(1-k)}{d(1+k)}=\dfrac{\dfrac{1-k}{1+(1-k)^2}}{\dfrac{1+k}{1+(1+k)^2}}=\dfrac{2-k^2-k^3}{2-k^2+k^3}<1,$$ 于是所求最小值为 $d(1-k)=\dfrac{1-k}{2-2k+k^2}$．