每日一题[2774]凹凸判断

如图，半径为 $1$ 的半圆 $O$ 与等边三角形 $ABC$ 夹在两平行线 ${l_1},{l_2}$ 之间，$l\parallel {l_1}$，$l$ 与半圆相交于 $F,G$ 两点，与三角形 $ABC$ 两边相交于 $E,D$ 两点．设弧 $FG$ 的长为 $x$（$0 < x < {\mathrm \pi}$），$y = EB + BC + CD$，若 $l$ 从 ${l_1}$ 平行移动到 ${l_2}$，则函数 $y = f\left(x \right)$ 的图象大致是（       ）

答案    D．

解析    设 $l,l_1$ 之间的距离为 $t$，则 $O$ 到 $FG$ 的距离为 $1-t$，因此弧 $FG$ 的长 $$x=2\arccos(1-t),$$ 而 $$y=\dfrac{2}{\sqrt 3}\left(3-2(1-t)\right)=\dfrac{4t+2}{\sqrt 3},$$ 因此 $$y=\dfrac{4\left(1-\cos\dfrac x2\right)+2}{\sqrt 3}=\dfrac{6-4\cos\dfrac x2}{\sqrt 3},$$ 其中 $x\in(0,\pi)$，选项 $\boxed{D}$ 正确．事实上，有 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&0&\dfrac{2\pi}3&\pi\\ \hline y&BC&2BC&3BC\\ \hline\end{array}$$ 满足这些条件的只有选项 $\boxed{D}$．