每日一题[2766]局部相似

已知等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $q$，记

$$\begin{split} {b_n} &= {a_{m\left(n - 1\right) + 1}} + {a_{m\left(n - 1\right) + 2}} + \cdots + {a_{m\left(n - 1\right) + m}} ,\\ {c_n} &= {a_{m\left(n - 1\right) + 1}} \cdot {a_{m\left(n - 1\right) + 2}} \cdots {a_{m\left(n - 1\right) + m}} ,\end{split}$$ 其中 ${m,n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}}$，则以下结论一定正确的是（       ）

A．数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 为等差数列，公差为 ${q^m}$

B．数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{2m}}$

C．数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{m^2}}$

D．数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 为等比数列，公比为 ${q^{m^m}}$

答案    C．

解析    根据题意，$m(n-1)+1,m(n-1)+2,\cdots,m(n-1)+m$ 是连续的 $m$ 个数，因此将 $\{a_n\}$ 按每 $m$ 项一组的方式“切段”，则每段的 $m$ 项之和构成的数列为 $\{b_n\}$，每段的 $m$ 项之积构成的数列为 $\{c_n\}$，根据等比数列的局部相似性，$\{b_n\}$ 是公比为 $q^m$ 的等比数列，$\{c_n\}$ 是公比为 $q^{nm}$ 的等比数列．