每日一题[2740]抛物圆串

设集合 $\Omega=\left\{(x, y)\mid (x-k)^{2}+\left(y-k^{2}\right)^{2}=4|k|, k \in \mathbb{Z}\right\}$，有以下两个命题：

① 存在直线 $l$，使得集合 $\Omega$ 中不存在点在 $l$ 上，而存在点在 $l$ 两侧；

② 存在直线 $l$，使得集合 $\Omega$ 中存在无数点在 $l$ 上； 则（       ）

A．① 成立，② 成立

B．① 成立，② 不成立

C．① 不成立，② 成立

D．① 不成立，② 不成立

答案    B．

解析    设圆 $M_k$ 是圆心为 $N(k,k^2)$ 半径为 $r_k=2\sqrt{|k|}$ 的圆（原点 $M_0$ 视为半径等于 $0$ 的圆），则 $\omega$ 为圆系 $M_k$（$k\in\mathbb Z$），如图．

对于命题 ①，设直线 $p_k:y=k^2-r_k-\dfrac 12$，$q_k=k^2+r_k+\dfrac 12$，则圆 $M_k$ 在直线 $p_{|k|}$ 与直线 $q_{|k|}$ 之间．考虑

$$\begin{split} p_{|k|+1}-q_{|k|}&=(|k|+1)^2-2\sqrt{|k|+1}-\dfrac12-\left(k^2+2\sqrt{|k|}+\dfrac 12\right)\\ &=2|k|-2\sqrt{|k|+1}-2\sqrt{|k|}\\ &\geqslant 2|k|-2\left(\sqrt{|k|}+1\right)-2\sqrt{|k|}\\ &=2\sqrt{|k|}\cdot \left(\sqrt{|k|}-2\right)-2\end{split}$$ 于是当 $|k|\geqslant 9$ 时，有 $$p_{|k|+1}-q_{|k|}>4,$$ 因此当 $|k|>9$ 时，圆 $M_{|k|}$ 均在直线 $q_9$ 上方，当 $|k|\leqslant 9$ 时，由于 $q_1<q_2<\cdots<q_9$，于是圆 $M_{|k|}$ 均在直线 $q_9$ 下方，命题 ① 成立．

对于命题 ②，若集合 $\omega$ 中存在无数点在直线 $l$ 上，则直线 $l$ 与圆系中的无数个圆相交（因为每个圆至多与直线 $l$ 交于 $2$ 点，因此若直线 $l$ 与圆系中的有限个圆相交，则直线 $l$ 上在集合 $\omega$ 中的点为有限个）．接下来我们用反证法证明对任意直线 $l$，均存在 $K\in\mathbb N^{\ast}$，使得当 $k>K$ 时，圆 $M_k$ 与直线 $l$ 相离．这样就证明了命题 ② 不成立．事实上，设 $l:x\cos \theta+y\sin\theta+m=0$，则 $N_k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）到 $l$ 的距离为

$$d(N_k,l)=|k\cos\theta+k^2\sin\theta+m|,$$ 当 $\sin\theta=0$ 时，有 $$\begin{split} d(N_k,l)-r_k&=|k\cos\theta+m|-2\sqrt k\\ &\geqslant |\cos\theta|\cdot k-|m|-2\sqrt k\\ &=k-|m|-2\sqrt{k}\\ &=\dfrac 12k-|m|+\dfrac 12\sqrt{k}\left(\sqrt{k}-4\right),\end{split}$$ 于是取 $K=2\left\lceil|m|\right\rceil+16$ 即可；当 $\sin\theta\ne 0$ 时，有 $$\begin{split} d(N_k,l)-r_k&\geqslant |\sin\theta|\cdot k^2-|\cos\theta|\cdot k-|m|-2\sqrt{k}\\ &=\dfrac 13k\left(|\sin\theta|\cdot k-3|\cos\theta|\right)+\left(\dfrac 13|\sin\theta|\cdot k^2-|m|\right)+\dfrac 13\sqrt{k}\left(|\sin\theta|\cdot \sqrt{k^3}-6\right),\end{split}$$ 因此取 $K=\left\lceil\dfrac{3|\cos\theta|}{|\sin\theta|}\right\rceil+\left\lceil\sqrt{\dfrac{3|m|}{|\sin\theta|}}\right\rceil+\left\lceil\left(\dfrac{6}{|\sin\theta|}\right)^{\frac 23}\right\rceil$ 即可． 这样就证明了命题 ② 不成立．