每日一题[2596]一波三折

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x+m}{x^2}$．

1、当 $m=1$ 时，求 $f(x)$ 的最大值．

2、讨论关于 $x$ 的方程 $f(x)=m-\ln x$ 的实数解的个数．

解析

1、当 $m=1$ 时，有 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{-2\ln x-1}{x^3},$$ 因此 $f(x)$ 在 $\left(0,{\rm e}^{-\frac 12}\right)$ 上单调递增，在 $\left({\rm e}^{-\frac 12},+\infty\right)$ 上单调递减，在 $x={\rm e}^{-\frac 12}$ 处取得极大值，也为最大值 $f\left({\rm e}^{-\frac 12}\right)=\dfrac{\rm e}2$．

2、关于 $x$ 的方程 $f(x)=m-\ln x$ 即 $$\dfrac{\ln x+m}{x^2}=m-\ln x\iff \ln x-m\cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+1}=0,$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则 $g(1)=0$，其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x^4-(4m-2)x^2+1}{x(1+x^2)^2},$$ 因此当 $m\leqslant 1$ 时，在区间 $x\in(0,+\infty)$ 上，有 $g'(x)>0$，于是 $g(x)$ 单调递增，因此题中方程实数解个数为 $1$．当 $m>1$ 时，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,x_1)&x_1&(x_1,1)&1&(1,x_2)&x_2&(x_2,+\infty)&+\infty \\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&+&\searrow&0&\searrow&-&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}$$ 其中 $x_1=(2m-1)-2\sqrt{m^2-m}$，$x_2=(2m-1)+2\sqrt{m^2-m}$．因此题中方程在 $(0,x_1)$ 以及 $(x_2,+\infty)$ 上分别有一个实数解，共计 $3$ 个实数解． 综上所述，题中方程的实数解个数为 $\begin{cases} 1,&m\leqslant 1,\\ 3,&m>1.\end{cases}$