每日一题[2586]公共棱边

已知平面 $\alpha \cap \beta=l$，$B, D$ 是 $l$ 上两点，直线 $A B \subset \alpha$ 且 $A B \cap l=B$，直线 $C D \subset \beta$ 且 $C D \cap l=C$．下列结论中正确的有（       ）

A．若 $A B \perp l$，$C D \perp l$，且 $A B=C D$，则 $A B C D$ 是平行四边形

B．若 $M$ 是 $A B$ 中点，$N$ 是 $C D$ 中点，则 $M N\parallel A C$

C．若 $\alpha \perp \beta$，$A B \perp l$，$AD \perp l$，则 $C D$ 在 $\alpha$ 上的射影是 $B D$

D．直线 $A B, C D$ 所成角的大小与二面角 $\alpha-l-\beta$ 的大小相等

答案    C．

解析    如图，$ABCQ-A_1B_1C_1Q_1$ 为正方体．

对于选项 $\boxed{A}$ 和 $\boxed{B}$，取 $D=C_1$，此时 $AB$ 与 $CD$ 异面，因此 $ABCD$ 不是平行四边形，选项 $\boxed{A}$ 错误；而 $MN$ 与 $AC$ 也异面，选项 $\boxed{B}$ 错误；

对于选项 $\boxed{D}$，取 $D=A_1$，此时 $AB,CD$ 所成角为 $\angle A_1CQ>45^\circ$，与二面角 $\alpha-l-beta$ 的大小不相等，选项 $\boxed{D}$ 错误．

对于选项 $\boxed{C}$，由于 $AB\perp l$ 且 $AD\perp l$，于是 $l\perp ABD$，因此 $\angle ABD$ 是二面角 $\alpha-l-\beta$ 的平面角，于是 $BD\perp AB$，又 $l\perp BD$，因此 $BD\perp ABC$，因此 $D$ 在 $ABC$ 上的投影为 $B$，选项 $\boxed{C}$ 正确．