每日一题[2575]数值估计

将 $\left(\sqrt[3]{49}\right)^{100}$ 用科学记数法写为 $a\cdot 10^n$，其中 $1\leqslant a<10$，且 $n$ 为正整数．若 $a$ 的整数部分为 $m$，则 $(m,n)=$ _______．（参考数据：$\lg 2\approx 0.3010$，$\lg 3\approx 0.4771$，$\lg 7\approx 0.8451$．）

答案    $(2,56)$．

解析    考虑到 $0.8448<\lg 7<0.8454$，于是

$$\lg\left(\left(\sqrt[3]{49}\right)^{100}\right)=\dfrac{200}3\lg 7\in (56.32,56.36),$$ 因此 $n=56$，且 $$2<10^{0.32}<a<10^{0.36}<3,$$ 从而 $m=2$．进而 $(m,n)=(2,56)$．