若 (a+b)n 的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列,则最大的三位正整数 n= _______.
答案 959.
解析 根据题意,设成等差数列的连续三项的二项式系数分别为 (nk−1),(nk),(nk+1),则2(nk)=(nk−1)+(nk+1),
即2(nk)=(nk)⋅kn−k+1+(nk)⋅n−kk+1,
整理得n2−(4k+1)n+4k2−2=0,
解得n=4k+1±√8k+92.
可得 8k+9 是奇数完全平方数,设 8k+9=(2p+1)2,则n=(2p2+2p−4)+1±(2p+1)2⩽(p+1)2−2,
因此 n 的最大值为 312−2=959.