每日一题[2539]归一

若 $(a+b)^n$ 的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数 $n=$ _______．

答案    $959$．

解析    根据题意，设成等差数列的连续三项的二项式系数分别为 $\dbinom n{k-1},\dbinom nk,\dbinom n{k+1}$，则 $$2\dbinom nk=\dbinom n{k-1}+\dbinom n{k+1},$$ 即 $$2\dbinom nk=\dbinom nk\cdot\dfrac k{n-k+1}+\dbinom n{k}\cdot \dfrac{n-k}{k+1},$$ 整理得 $$n^2-(4k+1)n+4k^2-2=0,$$ 解得 $$n=\dfrac{4k+1\pm\sqrt{8k+9}}{2}.$$ 可得 $8k+9$ 是奇数完全平方数，设 $8k+9=(2p+1)^2$，则 $$n=\dfrac{(2p^2+2p-4)+1\pm (2p+1)}{2}\leqslant (p+1)^2-2,$$ 因此 $n$ 的最大值为 $31^2-2=959$．