每日一题[2498]裂项求和

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\dfrac{4}{3}$，$a_{n+1}-1=a_{n}^{2}-a_{n}$（$n \in\mathbb N^{*}$），数列 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，则（       ）

A．$1<S_{2021}<2$

B．$2<S_{2021}<3$

C．$3<S_{2021}<4$

D．$4<S_{2021}<5$

答案    B．

解析    根据题意，有 $$\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{1}{a_n-1}-\dfrac{1}{a_n},$$ 因此 $$S_n=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{a_k-1}-\dfrac{1}{a_{k+1}-1}\right)=\dfrac{1}{a_1-1}-\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=3-\dfrac{1}{a_{n+1}-1}.$$ 根据题意，有 $$a_{n+1}-a_n=(a_n-1)^2\geqslant \dfrac 19,$$ 因此 $$a_{2022}\geqslant a_1+\dfrac{2021}9>2,$$ 因此 $\dfrac{1}{a_{2022}-1}\in (0,1)$，$S_{2021}\in (2,3)$．