每日一题[2470]构造图形

求值：$\cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}=$_______．

答案    $\dfrac 12$．

解析    如图，设 $OA=OB=1$，且 $\angle AOP=12^\circ$，$\angle BOP=48^\circ$，则 $\angle BOA=36^\circ$，设 $A,B$ 在 $OP$ 上的投影分别为 $A_1,B_1$，$B$ 在 $OA$ 上的投影为 $H$，则

$$\cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}=OB_1-OA_1+OH=OH-A_1B_1.$$

注意到

$$\angle B_1BA=\angle BOA-\angle BOB_1=72^\circ-42^\circ=30^\circ,$$ 于是 $A_1B_1=\dfrac 12AB$．倍长 $OH$ 到 $C$，有 $OH=\dfrac12OC$，此时 $$\angle ACB=\angle ABC=36^\circ,$$ 因此 $$OH-A_1B_1=\dfrac{OC-AB}2=\dfrac{OC-AC}2=\dfrac 12OA=\dfrac 12.$$