每日一题[2445]辅助数列

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}a_n-2n^2(a_{n+1}-a_n)+1=0$，且 $a_1=1$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_{15}=$（       ）

A．$196$

B．$225$

C．$256$

D．$289$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$a_{n+1}=\dfrac{2n^2a_n+1}{2n^2-a_n}=\dfrac{a_n+\dfrac{1}{2n^2}}{1-a_n\cdot \dfrac1{2n^2}},$$ 设 $a_n=\tan\theta_n$，$\theta_n\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，且 $\theta_1=\dfrac{\pi}4$，则有 $$\theta_{n+1}=\theta_n+\arctan\dfrac{1}{2n^2}\iff \theta_{n+1}-\arctan(2n+1)=\theta_n-\arctan(2n-1),$$ 进而 $$\theta_{n+1}-\arctan(2n+1)=\theta_n-\arctan(2n-1)=\cdots=\theta_1-\arctan 1=0,$$ 因此 $$\theta_n=\arctan(2n-1)\implies a_n=2n-1,$$ 因此 $$S_{15}=\sum_{k=1}^{15}(2k-1)=225.$$