已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2$，$a_{n+1}=2^{a_{n}}$．数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 滿足 $b_{1}=5$，$b_{n+1}=5^{b_{n}}$．若正整数 $m$ 满足 $b_{m}>a_{25}$，则 $m$ 的最小值为（ ）
A．$23$
B．$24$
C．$25$
D．以上答案都不对
答案 B．
解析 引入参数 $\alpha,k$，尝试证明\[b_n>\alpha\cdot a_{n+k},\]该不等式若能递推证明，需要\[b_{n+1}>\alpha\cdot a_{n+k+1}\impliedby 5^{b_n}>\alpha\cdot 2^{a_{n+k}}\impliedby \alpha\cdot a_{n+k}\cdot \ln 5>\ln \alpha+a_{n+k}\ln 2,\]也即\[(\alpha\ln 5-\ln 2)a_{n+k}>\ln \alpha,\]取 $\alpha=1$，则递推证明成立，此时递推起点可以选择 $k=1$ 时取 $n=1$，有\[b_1=5>4=a_2,\]这样就得到了 $b_{24}>a_{25}$．
类似的，引入参数 $\beta,p$，尝试证明\[b_n<\beta\cdot a_{n+p},\]该不等式若能递推证明，需要\[b_{n+1}<\beta\cdot a_{n+p+1}\impliedby 5^{b_n}<\beta\cdot 2^{a_{n+p}}\impliedby \beta\cdot a_{n+p}\cdot \ln 5<\ln \beta+a_{n+p}\ln 2,\]也即\[(\ln 2-\beta\ln 5)a_{n+k}>-\ln \beta,\]取 $\beta=\dfrac 13$，则递推证明成立，此时递推起点可以选择 $k=2$ 时取 $n=1$，有\[b_1=5<\dfrac 13\cdot 16=\dfrac 13a_3,\]这样就得到了 $b_{23}<\dfrac 13a_{25}$．
综上所述，$m$ 的最小值为 $24$．