设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，并且对任意正整数 $m,n$ 均有\[a_{2m+n}=2a_m+a_n+2m^2+4mn,\]求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
答案 $a_n=n^2+2n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
解析 根据题意，有\[a_{n+2}=a_n+4n+8,\]从而\[a_{2n+1}=a_1+\sum_{k=1}^{n}(8k+4)=a_1+4n^2+8n,\]而令 $m\to n$，$n\to 1$，可得\[a_{2n+1}=2a_n+a_1+2n^2+4n,\]因此\[a_n=n^2+2n.\]